Induksi matematika Selidiki kebenaran pernyataan berikut ini: P(n)= 2002^n+2 + 2003^2n+1 habis dibagi 4005

definisi:
a habis dibagi b jika ada m sedemikian sehingga a=mb. notasi a habis dibagi oleh b adalah b|a

[tex]p(n)=2002^{n+2}+2003^{2n+1}[/tex]

untuk [tex]n=1[/tex]
[tex]p(1):2002^{1+2}+2003^(2\times 1+1}=4005\times 4010007[/tex]
karena ada [tex]m=4010007\ni 2002^{n+2}+2003^{2n+1}=4005m[/tex], maka [tex]p(1)[/tex] benar

asumsikan untuk suatu bilangan bulat [tex]k, p(k)[/tex] benar, maka
[tex]\exists m\ni 2002^{k+2}+2003^{2k+1}=4005m[/tex]

akan dibuktikan [tex]p(k+1)[/tex] juga benar
[tex]2002^{(k+1)+2}+2003^{2(k+1)+1}=2002\times 2002^{k+2}+2003^2\times 2003^{2k+1}\\=2002\times 2002^{k+2}+2003^{2}\times (4005m-2002^{k+2})\\=2002\times 2002^{k+2}+4005\times (2003^{2}\times m)-2003^{2}\times 2002^{k+2}\\=4005\times (2003^{2}\times m)+(2002-(2002+1)^{2})\times 2002^{k+2}\\=4005\times (2003^{2}\times m)+(2002-(2002^{2}+4004+1))\times 2002^{k+2}\\=4005\times (2003^{2}\times m)+((2002-2002^2)-(4004+1))\times 2002^{k+2}\\=4005\times (2003^{2}\times m)+(2002(1-2002)-4005)\times 2002^{k+2}\\=4005\times (2003^{2}\times m)-4005\times 2002^{k+2}-2002\times 2001\times 2002^{k+2}[/tex]

perhatikan bahwa [tex]4005=3^{2}\times 5\times 89[/tex], tetapi 89 tidak habis membagi [tex]2001\times 2002^{k+3}[/tex], jadi 4005 tidak habis membagi p(k+1)

berdasarkan prinsip induksi matematika, maka p(n) tidak habis dibagi oleh 4005